O modelo

Research Reports

Autor

Timóteo Fassoni

O modelo q-votante não-linear é apresentado no artigo de Castellano:

📄 Nonlinear q-voter model
Claudio Castellano, Miguel A. Muñoz, and Romualdo Pastor-Satorras
Physical Review E 80, 041129 (2009).

Regras do modelo

Tempo discreto:

A um dado tempo $t$, escolha aleatoriamente um spin no nó $i$;
Escolha aleatoriamente $q$ vizinhos do nó $i$ (com possibilidade de repetição);
Se todos os $q$ vizinhos estiverem no mesmo estado, o spin original atualiza seu estado para aquele dos seus vizinhos;
Caso os $q$-vizinhos não estejam no mesmo estado, o spin original muda com probabilidade $\varepsilon$;
O tempo é atualizado $t\leftarrow t+1/N$.

Esta regra leva, naturalmente, à taxa de transição $f$ de um determinado sítio $i$. Sendo $x$ a fração de vizinhos com spin diferente, então devemos levar em conta as probabilidades de:

selecionarmos $q$ vizinhos com spin diferente de $i$, $x^q$;
selecionarmos $q$ vizinhos com spin igual ao de $i$, $(1-x)^q$.

Deste modo, \[f(x;q,\varepsilon) = x^q + \varepsilon\big(1 - x^q - (1-x)^q\big)\]. Utilizamos esta taxa para o algoritmo em tempo contínuo (Gillespie-like).

Processo de Markov em tempo contínuo, sendo $N$ o tamanho da rede e $\max_f=\max_x\left[f(x;q,\varepsilon)\right]$:

A um dado tempo $t$, escolha aleatoriamente um spin no nó $i$;
O spin de $i$ flipa caso $f_i(x_i) r^_f $, com $r^\text{r}\in[0,1)$,
O tempo é atualizado por $t\leftarrow t + \log(1-u^\text{r})/(N\max_f)$, com $u^\text{r}\in[0,1)$.

Quantidades e definições

Dada uma rede $\big(V,E\big)$ com $N$ nós e matriz de adjacência $A_{ij}$, definimos:

Estados de spin no tempo $t$, \[\xi_t:V\to\lbrace -1,1\rbrace,\]e.g. o estado do nó i: $\xi_t(i)=\pm1$;
Atividade da aresta (matriz de atividade) no tempo $t$, \[\chi_t:E\to\lbrace 0,1\rbrace,\] com a lei de formação \[\chi_t\left(A_{ij}\right) = \begin{cases}0\cdot A_{ij},\,\text{ caso }\xi_t(i)=\xi_t(j)\,,\text{ e}\\ 1\cdot A_{ij}\,,\text{ caso }\xi_t(i)\not=\xi_t(j)\end{cases};\]
Magnetização média por spin, \[\phi(t)=\frac{1}{N}\sum_{i\in V}\xi_t(i);\]
Densidade de vértices ativos, \[\rho(t) = \frac{1}{||E||}\sum_{\eta\in E}\chi_t(\eta);\]
Tempo de saída, $\tau$: tempo (Markov) necessário para a rede atingir o consenso em simulações com tamanho finito.

Nos interessa diferenciar os comportamentos assintóticos possíveis do modelo. Podemos ter a ocorrência de:

Clustering/consenso (fase ordenada/ferromagnética): dado dois nós diferentes $i$ e $j$ da rede, temos \[\lim_{t\to\infty}\text{P}\big[\xi_t(i)\not=\xi_t(j)\big]\to0;\]
Coexistence/fragmentação (fase desordenada/paramagnética): caracterizada pela existência de uma distribuição estacionária com quantidades macroscópicas de sítios nos estados -1 e +1.

Assim, adotando a notação $_\infty$ para grandezas assintóticas (isto é, medidas em $t\to\infty$), definimos, também: - Probabilidade de consenso: probabilidade de termos $\sum_i^N|\xi_\infty(i)|=N$, de modo que é equivalente ao valor esperado de $\phi_\infty=\pm1$, $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]$, e ao valor esperado $\rho_\infty=0$, $\mathrm{E}\big[\rho_\infty=0\big]$; - Probabilidade de saída: probabilidade de termos $\sum_i^N\xi_\infty(i)=N$, isto é, do sistema chegar ao estado de consenso +1, equivalente a $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=1\big]$.

Desse modo, a ocorrência de clustering é caracterizada por $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]\to 1$, enquanto a ocorrência de coexistence, por $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]\to 0$; ou, ainda, respectivamente, $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\text{sgn}(\phi_0)\big]=1$ e $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]=0$.